TRIÁNGULOS

El triángulo puede definirse como la porción de un plano que se encuentra limitada por tres rectas que se cortan dos a dos.

Si A, B y C son tres puntos cualesquiera no alineados, entonces los segmentos 

 determinan un triángulo.

CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS

Para traza un triángulo se necesita de tres datos, que pueden ser:

• ·         La longitud de sus tres lados.
• ·         La longitud de un lado y los valores de los ángulos adyacentes a él.
• ·         La longitud de dos lados y el ángulo que comprenden.

Se reunió un ejemplo comn la primera de las tres opciones señaladas:

Ejemplo:

¿Cómo construir un triángulo cuyos lados midan 5, 8 y 7 cm?

Procedimiento:

Se traza la base del triángulo, que puede ser cualquiera de los tres lados. A continuación, se apoya el compás en uno de los extremos del lado y con una abertura igual a la longitud de uno de los otros dos lados se traza un arco. Finalmente, se sostiene el compás en el otro extremo del lado inicial y con una abertura igual a la longitud del tercer lado, se traza otro arco. El punto donde se cruzan los arcos es un vértice del triángulo.

NOTACIÓN DE TRIÁNGULOS

Para representar un triángulo se utiliza el símbolo 

 seguido de las letras que representan a los vértices del triángulo.

Para representar lo lados de los triángulos se recurre al uso de letras minúsculas: éstas corresponden a la letra mayúscula del ángulo opuesto.

CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS

Un triángulo es la parte del plano limitada por tres segmentos rectos que se cortan en tres puntos. Los segmentos son los lados del triángulo y los puntos, los vértices. Por lo regular, los lados se identifican con letras minúsculas y los vértices, con las mismas letras que los lados a los cuales se oponen, pero mayúsculas.

El triángulo es una de las figuras geométricas más importantes. Una de las propiedades principales es la siguiente:

Un triángulo no se puede deformar, es rígido.

¿Qué significa esto? Si se construye una figura de cuatro lados con tiras de madera y se coloca una chinche o clavo en cada vértice, basta mover un poco cualquier lado para que la figura se deforme, es decir, hay muchos cuadriláteros que poseen cuatro lados iguales.

Con los triángulos no sucede esto: si se construye un triángulo con tiras de madera, por ejemplo, no se puede variar su forma.

Esta propiedad de los triángulos, llamada indeformabilidad, es esencial en la geometría.

Lo anterior quiere decir que con tres segmentos sólo puede construirse un triángulo único. De esto se desprende que si dos triángulos tienen sus tres lados iguales, entonces son iguales.

¿Cómo se construye un triángulo?

Dados tres segmentos, un triángulo se construye de la siguiente manera:

a)      Se toma la medida de un segmento con el compás y se traza una línea de esa longitud.

b)      Se toma con el compás la medida de un segundo segmento, se apoya la punta del instrumento en un extremo del primer segmento y se traza una circunferencia con radio igual que el segundo segmento.

c)       Se mide la longitud del tercer segmento con el compás, se apoya la punta de éste en el otro extremo de la línea inicial y se traza una circunferencia de radio igual que el tercer segmento.

d)      Se une cada extremo de la primera línea con alguno de los dos puntos donde se cruzan las dos circunferencias trazadas.

La propiedad que deben cumplir tres segmentos para que puedan ser los lados de un triángulo es la siguiente: si se tiene un lado grande y dos muy pequeños no es posible construir un triángulo.

Es decir, para que tres segmentos puedan ser los lados de un triángulo, la suma de las medidas de cualquier par de ellos debe ser mayor que la medida del otro lado.

Esta importante propiedad se conoce como desigualdad del triángulo.

Si se llama a, b y c a los lados del triángulo, dicha propiedad se expresa así:

Los triángulos pueden ser clasificados por sus lados, un triángulo es equilátero si sus tres lados son iguales, isósceles si posee dos lados iguales, y escaleno si los tres lados son desiguales.

También es posible clasificarlos por sus ángulos: un triángulo acutángulo si sus tres lados son agudos, rectángulo si tiene un ángulo recto y obtusángulo si uno de sus lados es obtuso.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

Según sus lados los triángulos pueden ser:

• ·         Equiláteros: cuando sus tres lados son iguales.
• ·         Isósceles: Cuando dos de sus lados son iguales.
• ·         Escalenos: cuando sus tres lados son diferentes.

Sin embargo, los triángulos también se clasifican por sus ángulos, de esta manera tenemos:

• ·         Acutángulos: cuando poseen tres ángulos agudos.
• ·         Rectángulos: cuando uno de sus ángulos es recto ( 90° ).
• ·         Obtusángulos: cuando poseen un ángulo obtuso.

RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO

La bisectriz es la línea que divide un ángulo por la mitad. El punto donde se cruzan las tres bisectrices de los ángulos se llama incentro y está localizado a la misma distancia de los tres lados.

La mediana es la línea que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto. El punto donde se cruzan las tres medianas se llama baricentro o gravicentro.

La mediatriz es la línea perpendicular a un segmento que pasa por su punto medio. El punto donde se cruzan las tres mediatrices se llama circuncentro y está a la misma distancia de los tres vértices.

La altura es una línea perpendicular que va de un vértice al lado opuesto. El punto donde se cruza la prolongación de las tres alturas se llama ortocentro.

La altura de  

es la línea punteada perpendicular a AB que pasa por el vértice C.

La altura  

es la línea punteada perpendicular a BC que pasa por el vértice A.

La altura  

es la línea punteada perpendicular a AC que pasa por el vértice B.

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

El concepto de congruencia es uno de los más útiles en Geometría.

Las figuras congruentes son aquellas que tiene el mismo tamaño y la misma forma. Una forma de comprobar esta congruencia es sobreponerlas, para ver si coinciden en todos sus puntos; es decir, si todos sus lados y sus ángulos son respectivamente iguales.

Sin embargo, como no siempre se pueden sobreponer dos figuras o medir todos sus lados y sus ángulos para verificar su congruencia, se puede realizar otro procedimiento para, finalmente, poder concluir si esas figuras son congruentes o no.

Por ejemplo, para saber si dos segmentos son congruentes o no es suficiente con medir su longitud.