TRIÁNGULOS

El triángulo puede definirse como la porción de un plano que se encuentra limitada por tres rectas que se cortan dos a dos.

Si A, B y C son tres puntos cualesquiera no alineados, entonces los segmentos 

 determinan un triángulo.

CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS

Para traza un triángulo se necesita de tres datos, que pueden ser:

• ·         La longitud de sus tres lados.
• ·         La longitud de un lado y los valores de los ángulos adyacentes a él.
• ·         La longitud de dos lados y el ángulo que comprenden.

Se reunió un ejemplo comn la primera de las tres opciones señaladas:

Ejemplo:

¿Cómo construir un triángulo cuyos lados midan 5, 8 y 7 cm?

Procedimiento:

Se traza la base del triángulo, que puede ser cualquiera de los tres lados. A continuación, se apoya el compás en uno de los extremos del lado y con una abertura igual a la longitud de uno de los otros dos lados se traza un arco. Finalmente, se sostiene el compás en el otro extremo del lado inicial y con una abertura igual a la longitud del tercer lado, se traza otro arco. El punto donde se cruzan los arcos es un vértice del triángulo.

NOTACIÓN DE TRIÁNGULOS

Para representar un triángulo se utiliza el símbolo 

 seguido de las letras que representan a los vértices del triángulo.

Para representar lo lados de los triángulos se recurre al uso de letras minúsculas: éstas corresponden a la letra mayúscula del ángulo opuesto.

CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS

Un triángulo es la parte del plano limitada por tres segmentos rectos que se cortan en tres puntos. Los segmentos son los lados del triángulo y los puntos, los vértices. Por lo regular, los lados se identifican con letras minúsculas y los vértices, con las mismas letras que los lados a los cuales se oponen, pero mayúsculas.

El triángulo es una de las figuras geométricas más importantes. Una de las propiedades principales es la siguiente:

Un triángulo no se puede deformar, es rígido.

¿Qué significa esto? Si se construye una figura de cuatro lados con tiras de madera y se coloca una chinche o clavo en cada vértice, basta mover un poco cualquier lado para que la figura se deforme, es decir, hay muchos cuadriláteros que poseen cuatro lados iguales.

Con los triángulos no sucede esto: si se construye un triángulo con tiras de madera, por ejemplo, no se puede variar su forma.

Esta propiedad de los triángulos, llamada indeformabilidad, es esencial en la geometría.

Lo anterior quiere decir que con tres segmentos sólo puede construirse un triángulo único. De esto se desprende que si dos triángulos tienen sus tres lados iguales, entonces son iguales.

¿Cómo se construye un triángulo?

Dados tres segmentos, un triángulo se construye de la siguiente manera:

a)      Se toma la medida de un segmento con el compás y se traza una línea de esa longitud.

b)      Se toma con el compás la medida de un segundo segmento, se apoya la punta del instrumento en un extremo del primer segmento y se traza una circunferencia con radio igual que el segundo segmento.

c)       Se mide la longitud del tercer segmento con el compás, se apoya la punta de éste en el otro extremo de la línea inicial y se traza una circunferencia de radio igual que el tercer segmento.

d)      Se une cada extremo de la primera línea con alguno de los dos puntos donde se cruzan las dos circunferencias trazadas.

La propiedad que deben cumplir tres segmentos para que puedan ser los lados de un triángulo es la siguiente: si se tiene un lado grande y dos muy pequeños no es posible construir un triángulo.

Es decir, para que tres segmentos puedan ser los lados de un triángulo, la suma de las medidas de cualquier par de ellos debe ser mayor que la medida del otro lado.

Esta importante propiedad se conoce como desigualdad del triángulo.

Si se llama a, b y c a los lados del triángulo, dicha propiedad se expresa así:

Los triángulos pueden ser clasificados por sus lados, un triángulo es equilátero si sus tres lados son iguales, isósceles si posee dos lados iguales, y escaleno si los tres lados son desiguales.

También es posible clasificarlos por sus ángulos: un triángulo acutángulo si sus tres lados son agudos, rectángulo si tiene un ángulo recto y obtusángulo si uno de sus lados es obtuso.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

Según sus lados los triángulos pueden ser:

• ·         Equiláteros: cuando sus tres lados son iguales.
• ·         Isósceles: Cuando dos de sus lados son iguales.
• ·         Escalenos: cuando sus tres lados son diferentes.

Sin embargo, los triángulos también se clasifican por sus ángulos, de esta manera tenemos:

• ·         Acutángulos: cuando poseen tres ángulos agudos.
• ·         Rectángulos: cuando uno de sus ángulos es recto ( 90° ).
• ·         Obtusángulos: cuando poseen un ángulo obtuso.

RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO

La bisectriz es la línea que divide un ángulo por la mitad. El punto donde se cruzan las tres bisectrices de los ángulos se llama incentro y está localizado a la misma distancia de los tres lados.

La mediana es la línea que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto. El punto donde se cruzan las tres medianas se llama baricentro o gravicentro.

La mediatriz es la línea perpendicular a un segmento que pasa por su punto medio. El punto donde se cruzan las tres mediatrices se llama circuncentro y está a la misma distancia de los tres vértices.

La altura es una línea perpendicular que va de un vértice al lado opuesto. El punto donde se cruza la prolongación de las tres alturas se llama ortocentro.

La altura de  

es la línea punteada perpendicular a AB que pasa por el vértice C.

La altura  

es la línea punteada perpendicular a BC que pasa por el vértice A.

La altura  

es la línea punteada perpendicular a AC que pasa por el vértice B.

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

El concepto de congruencia es uno de los más útiles en Geometría.

Las figuras congruentes son aquellas que tiene el mismo tamaño y la misma forma. Una forma de comprobar esta congruencia es sobreponerlas, para ver si coinciden en todos sus puntos; es decir, si todos sus lados y sus ángulos son respectivamente iguales.

Sin embargo, como no siempre se pueden sobreponer dos figuras o medir todos sus lados y sus ángulos para verificar su congruencia, se puede realizar otro procedimiento para, finalmente, poder concluir si esas figuras son congruentes o no.

Por ejemplo, para saber si dos segmentos son congruentes o no es suficiente con medir su longitud.

CASOS DE IGUALDAD DE TRIANGULOS

Los siguientes casos son opciones para construir o comprobar que dos triángulos que no podemos sobreponer son congruentes. Los puedes corroborar trazando un triángulo congruente con el triángulo inicial, por el procedimiento que se indica (debes utiliza regla, transportador y compás).

Caso 1. Dos triángulos son iguales si los tres lados de uno son iguales a los tres lados del otro.

Caso 2. Dos triángulos son iguales si tiene iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

Caso 3. Dos triángulos son iguales si tienen iguales un lado y los ángulos adyacentes a él (ALA)

SEMEJANZA O SIMILIDAD

Con mucha frecuencia utilizamos la palabra semejante de una manera muy general para decir que dos figuras, cosas, objetos o personas son parecidos en algunos aspectos. Pero en geometría, plantear que dos figuras son “semejantes” indica que tienen la misma forma, aunque su tamaño sea diferente.

Al ver las figuras anteriores podemos decir que los botes son semejantes o similares porque tienen la misma forma, al igual que los dibujos de los martillos, que sólo varían en su tamaño. Semejante e idéntico son términos que significan cosas distintas.

CRITERIOS DE SEMEJANZAS DE TRIÁNGULOS

Como sucede con la igualdad de triángulos, existen tres procedimientos para determinar la semejanza entre dos triángulos.

1-      Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos respectivamente iguales.

1-      Dos triángulos son semejantes cuando tienen un ángulo igual y los lados correspondientes son proporcionales.

1-      Dos triángulos son semejantes si los lados correspondientes son proporcionales.

EL TEOREMA DE PITÁGORAS

Se cree que mucho tiempo antes de que Pitágoras postulara por primera vez el teorema que lleva su nombre, el concepto sobre el que se fundamenta ya era conocido por los pueblos de Oriente.

Se piensa que los babilonios conocían el teorema “contando” los mosaicos triangulares, comunes en sus edificios.

Aunque existen muchas opiniones acerca de cuál fue la demostración que Pitágoras realizó de este teorema, la mayoría de los historiadores opinan que fue de la siguiente manera:

Sean a y b las medidas de los catetos y c la medida de la hipotenusa del triángulo rectángulo dado. Considérense los dos cuadrados congruentes 1 y 2 . El cuadrado 1 se divide en seis partes: un cuadrado I, cuyos lados miden a; un cuadrado II, cuyos lados miden b, y cuatro triángulos rectángulos que son cada uno congruentes con el triángulo rectángulo dado. El cuadrado 2 se puede reacomodar para obtener el cuadrado III, cuyos lados miden c y cuatro triángulos-rectángulos, cada uno de los cuales es congruente con el triángulo-rectángulo dado.

Puesto que las medidas de los lados de los cuadrados 1 y 2 son iguales, el área de cada cuadrado es igual a (a + b)^2. Consideremos ahora el área del cuadrado I: El cuadrado I tiene área a², el cuadrado II tiene área b² y cada uno de los cuatro triángulos tiene área 

. Entonces el área del cuadrado I es:

Consideremos ahora el área del cuadrado 2. El cuadrado III tiene área c² y cada uno de los triángulos rectángulos tiene área 

 Entonces el área del cuadrado 2 es:

Puesto que las áreas de los cuadrados 1 y 2 son iguales, tenemos que:

Simplificando tenemos:

POLÍGONOS

Un polígono es una figura plana limitada por líneas rectas que forman una línea quebrada cerrada. A continuación se muestran algunas líneas quebradas; algunas de ellas son abiertas y no son polígonos, en cambio otras son cerradas y forman polígonos.

ELEMENTOS DE UN POLÍGONO

En un polígono debemos considerar los siguientes elementos: lados, ángulos, diagonales y vértices.

ÁNGULOS DE UN POLÍGONO

Los ángulos pueden ser interiores o exteriores. El ángulo exterior es el que está formado por un lado cualquiera del polígono y la prolongación del lado adyacente.

Por otra parte, las rectas que unen a los vértices no consecutivos de un polígono reciben el nombre de diagonales.

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS

Ahora bien, por la amplitud de sus ángulos, los polígonos pueden ser clasificados como cóncavos o convexos.

Los polígonos convexos son aquellos cuyos ángulos interiores son todos menores de 180° y solo pueden ser cortados en dos puntos por una recta secante.

Los polígonos cóncavos son los que tienen uno o varios ángulos mayores de 180° y pueden ser cortados en más de dos puntos por una recta secante.

Por la medida de sus lados y sus ángulos, los polígonos pueden clasificarse en regulares, cuando sus lados y sus ángulos son todos iguales entre sí; o bien, irregulares, si al menos uno de sus lados o ángulos es diferente de los demás.

Por el número de sus lados o de sus ángulos, los polígonos pueden clasificarse en:

A los demás polígonos simplemente se les nombra por el número de sus  lados: polígono de 13 lados, de 25 lados, etc.

Dos polígonos merecen atención especial: los triángulos y cuadriláteros. Los primeros ya los tratamos con anterioridad, por lo que solamente se verá los cuadriláteros y los polígonos en general.

CUADRILÁTEROS

Son polígonos que reciben este nombre porque poseen 4 lados, pueden ser paralelogramos, trapecios, y trapezoides.

CUADRILATEROS PARALELOGRAMOS

El paralelogramo es un cuadrilátero que tiene paralelos sus lados opuestos. Son paralelogramos el cuadrado, el rectángulo, el rombo y el romboide.

Los trapecios son los cuadriláteros que solamente tienen un par de lados paralelos. Existen tres clases de trapecios:

·         Rectángulo: trapecio que tiene dos ángulos rectos (figura a).

·         Isósceles: es el trapecio que tiene iguales aquellos lados que no son paralelos (figura b).

·         Escaleno: cuando sus lados no paralelos son desiguales.

Los trapezoides son cuadriláteros que no tienen ningún lado paralelo a su lado opuesto; pueden ser simétricos o asimétricos.

DIAGONALES Y ÁNGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO CÓNCAVO

La diagonal es la línea que une dos vértices no consecutivos de un polígono.

Si se desea conocer el número total de diagonales que es posible trazar, se utiliza la siguiente fórmula:

Demostración: Como de cada vértice se pueden trazar n-3 diagonales, y como un polígono tiene n vértices, entonces se pueden trazar n(n-3) diagonales de todos los vértices; pero como cada diagonal tiene dos vértices, entonces el número total de diagonales es la mited y, por ello, la fórmula será:

SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO

Como sabemos, la suma de los ángulos de un triángulo es 180º.

Un cuadrilátero, puede descomponerse en dos triángulos.

La suma de sus ángulos es 180·2 = 360º.

De forma similar un pentágono descompone en tres triángulos. La suma de sus ángulos interiores es 

180· 3 = 540.

La triangulación de abajo nos lleva al mismo resultado.

180·5 -360= 180· 5-180 · 2 = 180 · 3.

Un polígono de n lados puede triangularse, (n-2) triángulos. Por tanto Suma ángulos interiores = 180 (n-2) 

ÁNGULO INTERIOR DE UN POLÍGONO REGULAR

Para calcular el valor de cada uno de los ángulos interiores de un polígono regular (todos sus ángulos son iguales),  es suficiente con saber cuánto suman entre todos y luego dividir el resultado entre el número de ángulos.

Todo esto se resuelve mediante la fórmula:

Ejemplo:

¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un polígono regular de 13 lados?

La suma de los ángulos interiores de un polígono regular de 13 lados es 1980°

¿Cuánto vale cada uno de los ángulos interiores de un decágono regular?

Cada uno de los ángulos interiores del decágono valen 144°.